APLICACIONES EN LA GEOMETRIA

La Geometría (Geo tierray metria medida), es una rama de la matemática que se ocupa del estudio de las propiedades de las figuras geométricas en el plano o el espacio, como son: puntos, rectas, planos,politopos.

Aplicaciones De La Geometría- Es la base teórica de la geometría descriptiva o del dibujo técnico.También da fundamento a instrumentos como el compás, el teodolito, el pantógrafoo el sistema de posicionamiento global.

Aplicaciones en la AstronomíaTiene su aplicación prácticaen física aplicada, mecánica,arquitectura, cartografía, astronomía, náutica, topografía, balística, etc. Y es útil en lapreparación de diseños eincluso en la elaboraciónde artesanías.

Aplicación en la TopografíaLos mapastopográficos utilizanel sistema derepresentación de planos acotados,mostrando la elevacióndel terreno utilizandolíneas que conectan lospuntos con la mismacota respecto de unplano de referencia.

Ecuación de Bernoulli, Lagrange y Clairaut.

Ecuacion Bernoulli

La ecuación diferencial de Bernoulli es una ecuación diferencial ordinaria de primer orden, formulada por Jacob Bernoulli. Esta ecuación fue transformada, por Gottfried Leibniz en 1693 y por Johann Bernoulli en 1697, en una ecuación diferencial lineal de primer orden mediante el cambio de variable $y^{1-\alpha }=v$ , esta ecuación es de la forma

{\frac {dy}{dx}}+P(x)y=Q(x)y^{\alpha }

donde $P(x)$ y $Q(x)$ son funciones continuas en un intervalo abierto $(a,b)\subseteq \mathbb {R}$ con $\alpha \in \mathbb {R}$ .

Hemos visto que una ecuación expresada de la forma $\frac{dy}{dx} + P(x)y= f(x)$ es una ecuación diferencial ordinaria lineal de primer orden no-homogénea y la solución de este tipo de ecuaciones se puede calcular usando el factor integrante.

También podemos notar que si la ecuación diferencial está expresada de la forma $\frac{dy}{dx} + P(x)y= f(x)y$ , se puede reescribir como una ecuación diferencial ordinaria lineal de primer orden homogénea $\frac{dy}{dx} + \big( P(x) - f(x) \big) y= 0$ y en consecuencia se puede calcular su solución separando las variables.

A continuación presentaremos un tipo de ecuaciones ligeramente parecido. Para cualquier número natural $n$ , diremos que una Ecuación de Bernoulli es una ecuación diferencial ordinaria no lineal expresada de la siguiente forma

$\frac{dy}{dx} + P(x)y= f(x)y^n$

Los casos para los cuales $n=0$ y $n=1$ fueron los nombrados en la introducción de esta sección. Para el caso $n \geq 2$ , podemos calcular la solución de este tipo de ecuaciones usando recurriendo a la variable auxiliar

$u=y^{1-n}$

De esta forma reducimos la ecuación a una ecuación diferencial ordinaria lineal no-homogénea. Veamos con algunos ejemplos calcular la solución de este tipo de ecuaciones diferenciales.

Ejemplos

Ejemplo 1

Calcule la solución de la siguiente ecuación diferencial ordinaria

$3x\frac{dy}{dx} + 6y = 12xy^2$

Lo primero que debemos hacer es estandarizar la ecuación diferencial y para esto dividimos cada uno de los sumandos involucrados por $3x$ para obtener

$\frac{dy}{dx} + \frac{2}{x}y = 4y^2$

Una vez estandarizada la ecuación diferencial, recurrimos a la variable auxiliar $u=y^{1-n}$ que en este caso, $n=2$ , por lo tango estará expresada como $u=y^{-1}$ de donde podemos despejar $y$ elevando a $-1$ y de forma general, para hacer este despeje, se eleva a $\frac{1}{1-n}$ ambos lados de la ecuación para obtener que

$y=u^{-1}$

Será necesario calcular el diferencial de $y$ , así que usando la regla de la cadena concluimos que

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \frac{du}{dx} = -u^{-2} \frac{du}{dx}$

Entonces, sustituimos $y$ y $\frac{dy}{dx}$ en la ecuación diferencial

$\frac{dy}{dx} + \frac{2}{x}y = 4y^2$

$\; \Rightarrow \; \left( -u^{-2} \frac{du}{dx} \right) + \frac{2}{x} \left( u^{-1} \right) = 4 \left( u^{-1} \right)^2$
$\; \Rightarrow \; -u^{-2} \frac{du}{dx} + \frac{2}{x}u^{-1} = 4u^{-2}$

Posteriormente, estandarizamos esta nueva expresión dividiendo cada uno de los sumandos por $-u^{-2}$ y así, reescribimos la nueva ecuación como una ecuación diferencial ordinaria lineal no-homogénea

$\frac{du}{dx} - \frac{2}{x}u = -4$

Identificamos la función $P(x)$ que nos permite calcular el factor integrante de la siguiente manera

$P(x) = - \frac{2}{x} \Rightarrow \rho(x) = \textit{\Large e}^{\int - \frac{2}{x}} = x^{-2}$

Entonces, calculamos la solución de la ecuación diferencial

$\frac{du}{dx} - \frac{2}{x}u = -4$

$\; \Rightarrow \; x^{-2}\frac{du}{dx} - x^{-2}\frac{2}{x}u = -4x^{-2}$

$\; \Rightarrow \; \frac{x^{-2} u}{dx} = -4x^{-2}$

$\; \Rightarrow \; \int \frac{x^{-2} u}{dx} = \int -4x^{-2}$

$\; \Rightarrow \; x^{-2} u = \frac{4}{x} + C$

$\; \Rightarrow \; u = 4x + Cx^2$

Finalmente, ya que hemos expresado la variable auxiliar $u$ en función de $x$ , volvemos a sustituirla para obtener $y$

$y^{-1} = -4x + Cx^2 \Rightarrow y = \frac{1}{-4x + Cx^2}$

Ecuacion Lagrange.

Se trata de ecuaciones en la forma y = x j(y’) + y(y’), donde j, y son funciones únicamente de la variable y’. Observar que la ecuación de Clairaut es una caso especial de la ecuación de Lagrange, teniendo por función j a la función identidad.

Para resolver la ecuación de Lagrange, hagamos y’ = p, con lo que tenemos:

y = x j(p) + y(p)

Si ahora derivamos esta ecuación con respecto a x, tenemos:

es decir,

que resulta ser una ecuación diferencial lineal, como podemos ver:

Ecuación que puede resolverse como lineal , para obtener la solución en la forma:

x = f( p, C).

Finalmente se puede pasar a hallar la solución general en forma f(x, y ,C) = 0.

EJEMPLO:

Resolvamos la ecuación diferencial de Lagrange:

y = x (y’)² + (y’)²

Para ello hacemos y’ = p, entonces tenemos: y = x p² + p²

Derivamos la ecuación respecto a x:

que puede ser expresada en forma de ecuación diferencial. lineal:

que tras ser resuelta según 10.7 tenemos:

Ahora para hallar la solución general de la ecuación diferencial de Lagrange, eliminamos p, entre las dos ecuaciones en p:

lo que nos da es la solución general.

Ecuacion Clairaut.

Una ecuación de Clairaut es aquella que tiene la forma

Estas ecuaciones son muy fáciles de resolver, tan solo hay que seguir unos pasos muy sencillos.

Ejemplo:

Puesto que se trata de una ecuación de Clairaut, basta sustituir en dicha ecuación y’ por C para tener la solución general

Ahora sacamos una ecuación más derivando con respecto de C la ecuación anterior

Con estas dos ecuaciones hacemos un sistema de ecuaciones para sacar el valor de C

Finalmente sustituimos el valor de C en y

Aplicaciones en la Química.

Todos los materiales que nos rodean, incluidos nosotros mismos, están formados por sustancias químicas, lo que nos lleva a practicar química constantemente, y aplicarla en muchísimos ámbitos de nuestras vidas.

Hasta hace poco tiempo, al manipular materiales, y practicar la química, se veían involucradas modificaciones pequeñas, como la extracción de metales desde un mineral. A través del conocimiento químico moderno, actualmente podemos descomponer la materia que se produce naturalmente en sus componentes (átomos), y recomponer dichos componentes para formar nuevos materiales que no existen en la naturaleza.
De este modo por ejemplo, podemos producir distintos carburantes a partir del petroleo, así como plásticos, pesticidas, productos farmacéuticos, etc.

El conocimiento de la química actual, del conocimiento moderno, nos permite entender y controlar los procesos que afectan al ambiente, como la producción de smog, o la destrucción del ozono estratosférico.

Los primeros químicos aprendieron poco a poco, probando y equivocándose, experimentando y hallando errores, para poder así producir nuevos materiales. Actualmente se responde al “por qué” y al “cómo” de los distintos cambios químicos basándose en teorías, principios, y por supuesto, aplicaciones.

La química se estudia haciendo énfasis en las formas en las que ésta cambia o se transforma, ocupándose de las propiedades que hacen una materia distinta de otra, y del cómo éstas pueden ser transformadas en otras por medios fisicoquímicos. Los compuestos se pueden romper en los elementos que los constituyen solamente a través de cambios químicos, en cambio las mezclas se pueden separar en sus distintos componentes a través de cambios físicos, pudiéndose hacer la clasificación entre los distintos estados de la materia: sólidos, líquidos, y gases.

La química, al igual que el resto de las ramas de la ciencia, utiliza el método científico, que se trata de una serie de teorías con el fin de explicar y predecir los fenómenos naturales.

Hoy en día la química, es uno de los procesos más utilizados en diferentes industrias como por ejemplo, en la industria de los alimentos. A partir de la química los alimentos sufren diversos cambios o modificaciones, para poder conservarlos, o mejorar sus propiedades.

Actualmente consumimos muchas sustancias químicas que contienen los alimentos que ingerimos a diario, ya que la gran mayoría de los alimentos están hechos a base de química, conteniendo un alto porcentaje de aditivos, colorantes, aromatizantes, espesantes, etc. Estas aplicaciones industriales en los alimentos que consumimos son las causantes de muchas enfermedades modernas, que sólo se dan en la sociedad de consumo, como alergias, trastornos estomacales, ulceras, etc.

También algunas industrias alimentarias han fabricado nuevos productos y suplementos alimentarios. Los aditivos, utilizados en un sin fin de alimentos, como harinas, enlatados, precocinados, golosinas, etc. , tienen mucha importancia en los alimentos procesados, donde se utilizan más de dos mil aditivos diferentes, colorantes artificiales, edulcorantes, antibacterianos, etc.

Los procesos en la búsqueda de soluciones para preservar por largos períodos los alimentos, sin que éstos pierdan las características y propiedades, es una de las aplicaciones más importantes de la química en ésta industria.

En la industria, los procesos químicos son de gran importancia, ya que se aplican en la fabricación de combustibles y carburantes, tan imprescindibles en nuestra sociedad.

En las industrias orgánicas, la química se usa en el tratamiento o formación de grasas, como la manteca de cacao, o el sebo de borneo, como el aceite de palma o grasas líquidas , como el aceite de oliva, de ricino, también las mantecas, de vaca, cerdo, etc.
Gracias a la química, se pueden extraer las grasas de los tejidos, ya sean vegetales o animales, para utilizarlas posteriormente en la fabricación de jabones, en la industria alimentaria, fabricación de velas, etc.

La química se aplica también en muchas y diferentes industrias, a parte de las ya mencionadas, como por ejemplo en la industria de la celulosa, para la fabricación del papel, en la fabricación de los barnices y pinturas, explosivos, alcoholes, fibras artificiales, y un gran etc.

Aplicaciones en la Biología.

Existen numerosos modelos matematicos de diversa ́ındole que se utilizan hoy en dia para el estudiode problemas en Biologıa y otras ciencias experimentales; sus objetivos principales son describir,explicar y predecir fen ́omenos y procesos en dichas ́areas. La gran parte de tales modelos matem ́aticosse expresa mediante ecuaciones diferenciales.El objetivo de este tema es describir brevemente algunos de los conceptos b ́asicos relacionados conlas ecuaciones diferenciales ordinarias, mostrar t ́ecnicas elementales de su resoluci ́on, as ́ı como exponerejemplos pr ́acticos de aplicaciones.Unaecuaci ́on diferenciales una ecuaci ́on en que lainc ́ognitaes una funci ́on: no el valor de lafunci ́on en uno o varios puntos, sino la funci ́on en s ́ı misma. Adem ́as, la ecuaci ́on involucra no s ́olo lafunci ́on (inc ́ognita), sino tambi ́en susderivadashasta un cierto orden.Cuando la inc ́ognita es una funci ́on de una sola variable se dice que la ecuaci ́on esordinaria, debidoa que la o las derivadas que aparecen son derivadas ordinarias (por contraposici ́on a las derivadasparciales de las funciones de varias variables)

Por ejemplo,

y′(t) =−y(t)

es una ecuacion diferencial ordinaria (edo) de primer orden, ya que la maxima derivada que apareceen ella es la de primer orden. Si no resulta confuso se suele escribir tambien esta ecuacion en la forma y′= −y, omitiendo la mencion expresa a la dependencia de y respecto a la variable independiente,t

.Resolver esta ecuacion consiste en encontrar una o varias funciones y= y(t) que verifiquen la igualdad y′(t) = −y (t), para todo t perteneciente a un cierto intervalo I. Una tal funcion se dice que es una solucion de la edo en el intervalo I.Con c ́acter general, una ecuacion diferencial ordinaria de primer ordense escribe:

y′=f (t, y)

y se dice que y= y (t) essolucion en I de esta ecuacion si se verifica

Por ejemplo, la funcion y = e−tes solucion de la ecuacion (2.1) en cualquier intervalo I ⊂ R, ya que

Pero tambien es solucion cualquier funcion de la forma y= Ce −t siendo C una constante arbitraria, puesto que

Ası pues, la ecuacion (2.1) tiene infinitas soluciones, lo que no es una particularidad de esta ecuaci ́onconcreta. La ecuacion diferencial ordinaria (2.2) posee, en general, una “familia” de infinitas solucionesdependientes de una constante arbitraria, a la que se suele llamarsoluci ́on generalde (2.2). Para cada valor de dicha constante arbitraria se obtiene unasoluci ́on particular.

Con frecuencia, en las aplicaciones, lo que interesa es encontrar una solucion particular que verificaalguna condicion adicional. Por ejemplo, que toma un valor dado para un valor, tambien dado, de la variable independiente. En este caso, el problema que se plantea se escribe:

y recibe el nombre deproblema de valor inicial. El nombre proviene del hecho de que, con frecuencia,la variable independiente, t, representa el tiempo, y el valor t0 es el instante en que comienza unexperimento, observacion o simulacion.

En general, si se verifican ciertas condiciones razonables de regularidad de la funcíon f, el problemade valor inicial (2.4) tiene solucion ́unica. Por ejemplo, el siguiente problema de valor inicial, asociado a la ecuacion (2.1)

aplicaciones en la fisica

En general, en Fısica, el estudio de sistemas con numero finito de grados de libertadconduce a ecuaciones diferenciales ordinarias (ver cap ́ıtulo VI), mientras que el estudiode medios continuos conduce a ecuaciones diferenciales en derivadas parciales.

Una ecuaci ́on diferencial ordinaria de ordennpuede, entonces, escribirse en la formageneral

La determinaci ́on de la funci ́on inc ́ognita es el problema fundamental que ataca lateor ́ıa de ecuaciones diferenciales.
Por ejemplo, N(t) =Ce^−kt, conCconstante arbitraria, es soluci ́on deI.1.1. Enefecto

La constante arbitrariaCqueda determinada si se conoceNa un dado tiempo. Porejemplo, si

resulta C = N0, y se tiene N (t) = N0e^−kt^.

en el campo de la física en su estudio de sistemas trabaja con número finito de grados de libertad, el cual nos conduce a ecuaciones diferenciales ordinarias, mientras que el estudio de medios continuos conduce a ecuaciones diferenciales en derivadas parciales.

Por eso la aplicación de esta herramienta de la matemática por la determinación de la función incógnita es el problema fundamental que ataca la teoría de ecuaciones diferenciales.

Luego de conocer los aportes básico sobre la ecuaciones diferenciales y su aplicación, en el ámbito de la ingeniería, investigaciones de física, astronomía, también en la biología en el manejo de población bacterianas y sus propagación, darle importancias a la evolución y compresión de nuevos métodos de aplicación o abordaje matemático en ciencias como la física, que trabajen estudios de fenómenos y otros tipos de eventualidades que ocurren en la naturaleza, también quiero dar estés post, como un aporte al conocimiento como profesor mas ya allá de un salón de clase, el conocimiento hay que compartirla para que nazca nuevas idea y percepción en este contenido ya explicado, en un próximo publicación se continuando esta temática en la física, como el abordaje de ecuaciones diferenciales lineales.

Ecuaciones Diferenciales

Aplicaciones de las Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden.

APLICACIONES EN LA GEOMETRIA

Ecuación de Bernoulli, Lagrange y Clairaut.

Ecuacion Bernoulli

Ejemplos

Ejemplo 1

Ecuacion Lagrange.

Ecuacion Clairaut.

Aplicaciones en la Química.

Aplicaciones en la Biología.

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