Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Primer Orden.

 Ecuaciones Diferenciales de Variables Separables.

Consideraremos ecuaciones que se caracterizan porque podemos separar las variables, es decir, que se pueden dejar todas las expresiones que involucran una variable de un lado de la ecuación y a todas las expresiones que involucran la otra variable del otro lado de la ecuación.

Formalmente, diremos que una ecuación diferencial es de variables separables si se expresa de la siguiente forma:

Veamos con algunos ejemplos la técnica para calcular la solución de este tipo de ecuaciones diferenciales.

Ejemplo 1

Consideremos la ecuación , lo primero que debemos hacer es reescribir como un cociente de diferenciales , de esta forma, reescribimos la ecuación de la siguiente manera

Haciendo un abuso de la notación, trabajaremos con los diferenciales de y de como si estos fueran factores reales, de esta forma podemos separar las variables de la siguiente forma

Notamos que todas las expresiones que involucran a están del lado izquierdo de la ecuación y todas las expresiones que involucran a están del lado derecho de la ecuación. Así, lo siguiente que haremos será integrar ambos lados de la ecuación

Al calcular ambas integrales, generamos dos constantes provenientes de dos familias distintas de antiderivadas, sin embargo ambas son agrupadas en una constante del lado derecho de la ecuación. Una vez calculadas las integrales, procedemos a despejar la variable para obtener la función que estamos buscando.

En este último paso, al ser una constante real, la reescribimos como para facilitar su escritura.

Observación: No hemos considerado el valor absoluto en el logaritmo al calcular la integral de pues recordando que debe estar definida en el mayor intervalo que la contenga, consideramos convenientemente un intervalo en el que podemos prescindir del valor absoluto.

Ecuación diferencial homogénea

Una ecuación diferencial puede ser homogénea en dos aspectos: cuando los coeficientes de los términos diferenciales en el caso del primer orden son funciones homogéneas de las variables; o para el caso lineal de cualquier orden cuando no existen los términos constantes.

Tipo homogénea ecuaciones diferenciales de primer orden

Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden de la forma:

${\displaystyle M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0}$

es del tipo homogénea si las funciones M(x, y) y N(x, y) son funciones homogéneas del mismo grado n.​ Esto es, multiplicando cada variable por un parámetro  ${\displaystyle \lambda }$, se halla

${\displaystyle M(\lambda x,\lambda y)=\lambda ^{n}M(x,y)\,}$     y     ${\displaystyle N(\lambda x,\lambda y)=\lambda ^{n}N(x,y)\,.}$

Así,

${\displaystyle {\frac {M(\lambda x,\lambda y)}{N(\lambda x,\lambda y)}}={\frac {M(x,y)}{N(x,y)}}\,.}$

Método de resolución

En el cociente   ${\displaystyle {\frac {M(tx,ty)}{N(tx,ty)}}={\frac {M(x,y)}{N(x,y)}}}$, haciendo   ${\displaystyle t=1/x}$   para simplificar esta ecuación para una función ${\displaystyle f}$ de la variable simple ${\displaystyle y/x}$:

${\displaystyle {\frac {M(x,y)}{N(x,y)}}={\frac {M(tx,ty)}{N(tx,ty)}}={\frac {M(1,y/x)}{N(1,y/x)}}=f(y/x)\,.}$

Se introduce el cambio de variables ${\displaystyle y=ux}$; diferenciando usando la regla del producto:

${\displaystyle {\frac {d(ux)}{dx}}=x{\frac {du}{dx}}+u{\frac {dx}{dx}}=x{\frac {du}{dx}}+u,}$

así transformando la ecuación diferencial original en la forma separable

${\displaystyle x{\frac {du}{dx}}=-f(u)-u\,;}$

esta forma puede ahora integrarse directamente (ver ecuación diferencial ordinaria).

Caso especial

Una ecuación diferencial de primer orden de la forma (a, b, c, e, f, g son coeficientes constantes)

${\displaystyle (ax+by+c)dx+(ex+fy+g)dy=0\,}$

donde af ≠ be puede transformarse en un tipo homogéneo mediante una transformación lineal de ambas variables (${\displaystyle \alpha }$ y ${\displaystyle \beta }$ son constantes):

${\displaystyle t=x+\alpha ;\,\,\,\,z=y+\beta \,.}$

Ahora determinar dichas constantes de forma que los términos independientes sean nulos.

Ecuación diferencial exacta

En matemáticas, una ecuación diferencial exacta es una ecuación diferencial ordinaria de primer orden que presenta la forma:

${\displaystyle M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0,\,\!}$

donde las derivadas parciales de las funciones M y N: ${\displaystyle {\frac {\partial M}{\partial y}}\,\!}$ y ${\displaystyle {\frac {\partial N}{\partial x}}\,\!}$ son iguales. Esto es equivalente a decir que existe una función ${\displaystyle F(x,y)}$ tal que:

${\displaystyle dF(x,y)={\frac {\partial F}{\partial x}}dx+{\frac {\partial F}{\partial y}}dy\,\!}$

donde ${\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial x}}=M(x,y)\,\!}$ y ${\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial y}}=N(x,y)\,\!}$.

Dado que ${\displaystyle F(x,y)}$ es una función diferenciable, entonces, por el teorema de Clairaut, sus derivadas cruzadas deben ser iguales. Esto significa que:

${\displaystyle {\frac {\partial M}{\partial y}}={\frac {\partial N}{\partial x}}={\frac {\partial ^{2}F}{\partial x\partial y}}\,\!}$.

 

Método de resolución.

Para resolver una ecuación diferencial de este tipo, se ha de seguir los siguientes pasos:

• Comprobar la exactitud de la ecuación, esto es, verificar si las derivadas parciales de M (con respecto a y) y de N (con respecto a x) son iguales.

• Se integra M o N a conveniencia (M respecto a x o N respecto a y) obteniéndose de este modo la solución general de la ecuación aunque con una función incógnita g que aparece como constante de integración. Esto es:

${\displaystyle F(x,y)=\int M\,dx+g(y)=\int N\,dy+g(x)\,\!}$

• Para despejar la función g se deriva ${\displaystyle F(x,y)\,\!}$ con respecto a la variable dependiente de g.

${\displaystyle {\frac {\partial {F}}{\partial {y}}}={\frac {\partial {}}{\partial {y}}}\left(\int M\,dx\right)+{\frac {\partial {g(y)}}{\partial {y}}}\,\!}$

${\displaystyle {\frac {\partial {F}}{\partial {x}}}={\frac {\partial {}}{\partial {x}}}\left(\int N\,dy\right)+{\frac {\partial {g(x)}}{\partial {x}}}\,\!}$

• Se iguala la derivada parcial recién calculada de ${\displaystyle F(x,y)}$ con M o N (si se integró M se iguala a N y viceversa.), despejando y luego integrando con respecto a la variable dependiente de g; de este modo se encontrará la función g.

${\displaystyle N={\frac {\partial {}}{\partial {y}}}\left(\int M\,dx\right)+{\frac {\partial {g(y)}}{\partial {y}}}\,\!}$

${\displaystyle g(y)=\int N\,dy-\int \left[{\frac {\partial {}}{\partial {y}}}\left(\int M\,dx\right)\right]\,dy\,\!}$

${\displaystyle M={\frac {\partial {}}{\partial {x}}}\left(\int N\,dy\right)+{\frac {\partial {g(x)}}{\partial {x}}}\,\!}$

${\displaystyle g(x)=\int M\,dx-\int \left[{\frac {\partial {}}{\partial {x}}}\left(\int N\,dy\right)\right]\,dx\,\!}$

• Finalmente se reemplaza el g encontrado en la solución general ${\displaystyle F(x,y)\,\!}$.

${\displaystyle F(x,y)=\int M\,dx+\int N\,dy-\int \left[{\frac {\partial {}}{\partial {y}}}\left(\int M\,dx\right)\right]\,dy=C\,\!}$

${\displaystyle F(x,y)=\int M\,dx+\int N\,dy-\int \left[{\frac {\partial {}}{\partial {x}}}\left(\int N\,dy\right)\right]\,dx=C\,\!}$

Ecuaciones Diferenciales con factores integrantes.

El factor integrador, también conocido como factor de integración o factor integrante de una ecuación diferencial, se define como una función (usualmente representada por la letra griega μ) que al multiplicarse por una ecuación diferencial no exacta, puede convertirla en una ecuación diferencial exacta. 

Es común que se le refiera como un método de resolución para ecuaciones diferenciales.

Consideraciones

Usar el factor integrador como un método de resolución de ecuaciones diferenciales requiere de algunos aspectos a tomar en cuenta.

Forma estándar de una ecuación lineal

Es necesario que la ecuación diferencial a resolver sea de la forma ${\displaystyle {dy \over dx}+P(x)y=f(x)}$, en donde:

• Puede asumirse que ${\displaystyle y}$ está en función de ${\displaystyle x}$.
• ${\displaystyle P(x)}$ puede ser una constante que multiplica a la función ${\displaystyle y}$.
• ${\displaystyle f(x)}$ puede ser una constante.

Ecuación diferencial ordinaria

Se debe estar seguro que la ecuación diferencial a resolver no contenga derivadas parciales de 1 o más variables dependientes.

Ecuación diferencial de primer orden

El factor integrador como método para resolver ecuaciones diferenciales sólo es aplicable a E.D. de primer orden, es decir, que el exponente de la derivada de orden más álto sea igual a 1.

No ser separable

Esto es una recomendación más que un requisito. Existen ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden que pueden ser resueltas por el método de separación de variables, que es más sencillo.

Por ejemplo, la ecuación diferencial ${\displaystyle {dy \over dx}=y+3}$ es lineal y de primer orden, y puede resolverse usando separación de variables. De esta forma:

${\displaystyle \int {dy \over y+3}=\int dx}$ ${\displaystyle \Rightarrow }$ ${\displaystyle \ln {(|y+3|)}=x}$

Sin embargo, una ecuación diferencial como ${\displaystyle {dy \over dx}+y=x}$, a pesar de ser de primer orden y de ser lineal, no puede resolverse separando sus variables. ³​

Fórmula del factor integrador

La fórmula del factor integrador es de la forma ${\displaystyle \mu =e^{\int P(x)dx}}$, en donde ${\displaystyle P(x)}$ corresponde a la función de igual nombre en la forma estándar de una ecuación lineal.

Ecuación diferencial lineal

En matemáticas, una ecuación diferencial lineal es aquella ecuación diferencial cuyas soluciones pueden obtenerse mediante combinaciones lineales de otras soluciones. Estas últimas pueden ser ordinarias (EDOs) o en derivadas parciales (EDPs). Las soluciones a las ecuaciones diferenciales lineales cuando son homogéneas forman un espacio vectorial, a diferencia de las ecuaciones diferenciales no lineales.

Una ecuación diferencial lineal tiene la forma:

${\displaystyle Ly=f}$

donde el operador diferencial L es un operador lineal, y es la función incógnita o desconocida (una función que podría ser dependiente del tiempo y(t)), y del lado derecho f es una función conocida de la misma naturaleza que y (denominada término de excitación). Para una función dependiente del tiempo se puede escribir la ecuación más detalladamente como:

${\displaystyle Ly(t)=f(t)}$

y también se puede usar la notación con corchetes:

${\displaystyle L[y(t)]=f(t)}$

El operador lineal L puede ser de la siguiente forma:²​

${\displaystyle L_{n}(y)\equiv a_{n}(t){\frac {d^{n}y}{dt^{n}}}+a_{n-1}(t){\frac {d^{n-1}y}{dt^{n-1}}}+\cdots +a_{1}(t){\frac {dy}{dt}}+a_{0}(t)y}$

o sino:

${\displaystyle L_{n}(y)\equiv \sum _{k=0}^{n}a_{k}(x)D^{k}(y)}$

La condición de linealidad sobre L se da mientras no aparezcan productos de la función desconocida consigo misma, ni con ninguna de sus derivadas. Es conveninente reescribir esta ecuación en donde la forma del operador es:

${\displaystyle L_{n}(y)\equiv \left[\,a_{n}(t)D^{n}+a_{n-1}(t)D^{n-1}+\cdots +a_{1}(t)D+a_{0}(t)\right]y}$

donde D es el operador diferencial ddt (es decir, Dy = y' , D²y = y",... ), y a_k son funciones conocidas. Se dice que la ecuación tiene un orden n, si es el índice más alto de la derivada de y.

Estas ecuaciones tienen la propiedad de que el conjunto de las posibles soluciones tiene estructura de espacio vectorial de dimensión finita cosa que es de gran ayuda a la hora de encontrar dichas soluciones.

Si f = 0 la ecuación se denomina homogénea y sus soluciones se denominan funciones complementarias. Esta solución es muy importante para el caso general, y que cualquier función complementaria puede sumarse a la solución de la ecuación cuando es inhomogénea (f ≠ 0) y resulta en otra solución. Cuando los a_k son números, la ecuación se dice que tiene coeficientes constantes.

Ecuación lineal de primer orden

Las Ecuaciones diferenciales de primer orden se caracterizan por ser de la forma:

${\displaystyle {\begin{cases}y'+p(x)y=q(x)\\y(x_{0})=y_{0}\end{cases}}}$

Donde ${\displaystyle p(x)}$ y ${\displaystyle q(x)}$ son funciones continuas en un intervalo abierto ${\displaystyle (a,b)\subseteq \mathbb {R} }$, y el valor inicial es ${\displaystyle y(x_{0})=y_{0}}$.

La solución de esta ecuación viene dada por:

${\displaystyle y(x)=e^{-\int _{x_{0}}^{x}p(s)ds}\left[y_{0}+\int _{x_{0}}^{x}q(s)e^{\int _{x_{0}}^{s}\!p(t)dt}ds\right]}$