Definiciones Básicas y Clasificación de las Ecuaciones Diferenciales.

¿Que es una ecuacion diferencial?

Una ecuación diferencial (ED) es una ecuación que relaciona de manera no trivial a una función desconocida y una o más derivadas de esta función desconocida con respecto a una o más variables independientes. Si la función desconocida depende de una sola variable la ecuación diferencial se llama ordinaria, por el contrario, si depende de más de una variable, se llama parcial

Una ecuación diferencial es una ecuación matemática que relaciona una función con sus derivadas. En las matemáticas aplicadas, las funciones usualmente representan cantidades físicas, las derivadas representan sus razones de cambio y la ecuación define la relación entre ellas. Como estas relaciones son muy comunes, las ecuaciones diferenciales juegan un rol primordial en diversas disciplinas, incluyendo la ingeniería, la física, la química, la economía y la biología.

La frase de manera no trivial que hemos usado en la definición anterior tiene como propósito descartar ecuaciones diferenciales que satisfacen la definición, pero son realmente identidades, es decir, son siempre verdaderas sin importar quién sea la función desconocida. Un ejemplo de tal tipo de ecuaciones es:

$\begin{displaymath} Sin^2 \left( \frac{dy}{dx} \right) + Cos^2 \left( \frac{dy}{dx} \right) = 1 \end{displaymath}$

Esta ecuación es satisfecha por cualquier función en una variable que sea derivable. Otro ejemplo es

$\begin{displaymath} \left( \frac{dy}{dx} - y \right)^2 = \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 - 2 y \frac{dy}{dx} + \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 \end{displaymath}$

Es claro que lo que está detrás de esta ecuación es la fórmula notable $\left( a + b \right)^2 = a^2+ 2ab + b^2$ ; por lo que la ecuación es satisfecha por cualquier función derivable.

Nuestra atención se centrará sobre ecuaciones diferenciales ordinarias . Una ecuación diferencial ordinaria es aquella que tiene a como variable dependiente y a como variable independiente se acostumbra expresar en la forma

$\begin{displaymath} F(x,y,y^{(1)}, y^{(2)}, \ldots, y^{(n)}) = 0 \end{displaymath}$

(1.4)

para algún entero positivo . Si podemos despejar de esta ecuación la derivada más alta, obtenemos una o más ecuaciones de orden de la forma

$\begin{displaymath} y^{(n)} = G(x,y,y^{(1)}, y^{(2)}, \ldots, y^{(n-1)} ) \end{displaymath}$

Ejemplo
La ecuación $\left(y^{\prime} \right)^2 + xy^{\prime} - =0$ es equivalente a las dos ecuaciones diferenciales

$\begin{displaymath} \begin{array}{ccc} y^{\prime} = \frac{\sqrt{x^2 + 4y}-x}{2... ...} & y^{\prime} = \frac{-\sqrt{x^2 + 4y} - x }{2} \end{array} \end{displaymath}$

Las ecuaciones diferenciales se clasifican en varias categorías, como ya vimos, según su tipo en ordinarias y parciales, o según su linealidad u orden, como veremos.

Las ecuaciones diferenciales se clasifican en función de:

TIPO.

ORDEN.

LINEALIDAD.

clasificacion por tipo

Si una ecuación diferencial contiene sólo derivadas ordinarias de una o mas variables dependientes con respecto a una sola variable independiente se dice que es una ecuación diferencial ordinaria

Clasificación según el orden

El orden de una ecuación diferencial (ya sea ordinaria o parcial) es el orden de la derivada mayor en la ecuación.

La ecuación:

Es una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden.

Una ecuación diferencial ordinaria de n-ésimo orden se puede expresar mediante la forma general:

F(x, y, y ́, y ́ ́, . . ., y(n))=0

Donde F es una función de valores reales de n+2 variables x, y, y ́, y ́ ́, ..., y(n).

Es posible despejar de una ecuación diferencial ordinaria en forma única la derivada superior y(n)en términos de las n+1 variables restantes.

La ecuación diferencial:

Clasiciación según la linealidad

Donde f es una función continua de valores reales, se denomina forma normal.

Se dice que una ecuación diferencial ordinaria de orden n es lineal si F es lineal en y, y ́, y ́ ́, . . ., y(n).

Esto significa que una ecuación diferencial ordinaria de orden n es lineal cuando

Se dice que una ecuación diferencial ordinaria de orden n es lineal si F es lineal en y, y ́, y ́ ́, . . ., y(n).

Esto significa que una ecuación diferencial ordinaria de orden n es lineal cuando

En las ecuaciones diferenciales lineales de primero y segundo orden (n=1 y n=2):

se puede observar las características de una ecuación diferencial lineal:

La variable dependiente y ytodas sus derivadas y ́, y ́ ́, . . ., y(n)son de primer grado, es decir, la potencia de cada término en que interviene y es 1.

Los coeficientes a0, a1, ..., ande y ́, y ́ ́, . . ., y(n)dependen sólo de la variable independiente x.

Las siguientes ecuaciones diferenciales son no lineales:

Solución de una Ecuación Diferencial: Solución General y Particular

Una solución de una ecuación diferencial es una función que al reemplazar a la función incógnita, en cada caso con las derivaciones correspondientes, verifica la ecuación, es decir, la convierte en una identidad .Solución de una ecuación diferencial Una función f(x) es una solución de una ecuación diferencial dada, sólo si la ecuación se satisface cuando f(x) y sus derivadas se sustituyen en dicha ecuación.

Solución general

La solución general es una solución de tipo genérico, expresada con una o más constantes. Es un haz de curvas. Tiene un orden de infinitud de acuerdo a su cantidad de constantes (una constante corresponde a una familia simplemente infinita, dos constantes a una familia doblemente infinita, etc). En caso de que la ecuación sea lineal, la solución general se logra como combinación lineal de las soluciones (tantas como el orden de la ecuación) de la ecuación homogénea (que resulta de hacer el término no dependiente de $y(x)$ ni de sus derivadas igual a 0) más una solución particular de la ecuación completa

Una solución que contiene una o más constantes arbitrarias, se llamasolu-ción general de la ecuación diferencial y corresponde a toda una familia de fun-ciones, un miembro de la familia para cada valor asignado a cada constante.

Solución particular

Si fijando cualquier punto $P(X_{0},Y_{0})$ por donde debe pasar necesariamente la solución de la ecuación diferencial, existe un único valor de C, y por lo tanto de la curva integral que satisface la ecuación, este recibirá el nombre de solución particular de la ecuación en el punto $P(X_{0},Y_{0})$ , que recibe el nombre de condición inicial.

Es un caso particular de la solución general, en donde la constante (o constantes) recibe un valor específico.

Solución particular de una ecuación diferencial Una solución particular de una ecuación diferencial, es la que se obtiene a través de información adicional que permita asignar valores específicos a las cons-tantes que aparecen en la solución general

Condiciones iniciales o condiciones a la frontera

Se llama así a la información adicional que nos permite encontrar una solu-ción particular a un problema dado. En nuestro caso, las condiciones iniciales nos permitirán hallar el valor de las constantes que aparecen en la solución general de una ecuación diferencial.

Observaciones sobre las soluciones

Sea la ecuación diferencial ordinaria de orden n $f(y^{(n)},y^{(n-1)},\dots ,y'',y',y,x)=0$ , es fácil verificar que la función y= f(x) es su solución. Basta calcular sus derivadas de f(x), luego reemplazarlas en la ecuación , junto con f(x) y probar que se obtiene una identidad en x.

Las soluciones de E.D.O. se presentan en forma de funciones implícitamente definidas, y a veces imposibles de expresar de manera explícita. Por ejemplo

$xy=\ln y+c$ , que es solución de: ${\frac {{\text{d}}y}{{\text{d}}x}}={\frac {y^{2}}{1-xy}}$

La forma más simple de todas las ecuaciones diferenciales es ${\text{d}}y/{\text{d}}x=f(x)$ cuya solución es $y=\int {f(x)\ {\text{d}}x}+c$ En algunos casos es posible resolverla por métodos elementales del cálculo. Sin embargo, en otros casos, la solución analítica requiere técnicas de variable compleja o más sofisticadas como sucede con las integrales:

$y=\int {\exp(x^{2})\ {\text{d}}x}$ y en la integral $y=\int {{\frac {\sin x}{x}}\ {\text{d}}x}$

no puede estructurase mediante un número finito de funciones elementales

Solución Singular de una Ecuación Diferencial y problemas con valores iniciales.

Soluciones singulares

Una solución de una ecuación diferencial se llama singular si no se puede obtener de la solución general al sustituir las constantes por valores, es decir, no es una solución particular.

Ejemplo
La familia de rectas es la solución general de la ecuación diferencial $y = xy^{\prime} + 2 \left( y^{\prime} \right)^2$ . La parábola es una solución singular.

No es difícil comprobar que ambas son solución de la ecuación diferencial dada. En la figura 3 se muestra la solución singular y varias soluciones particulares.

Figura 3

Observe que la parábola es tangente en cada uno de sus puntos a una curva de la familia de rectas , cuando sucede esto decimos que la parábola es la envolvente de la familia de rectas ; como se indica en la siguiente definición.

Problema de valor inicial

En matemática, en el campo de las ecuaciones diferenciales, un problema de valor inicial (también llamado por algunos autores como el problema de Cauchy) es una ecuación diferencial ordinaria junto con un valor especificado, llamado la condición inicial, de la función desconocida en un punto dado del dominio de la solución. En física o en otras ciencias, es muy común que el modelado de un sistema utilice el problema de valor inicial para la resolución; en este contexto, la ecuación diferencial es una ecuación que evoluciona especificando cómo el sistema evoluciona con el tiempo, dadas las condiciones iniciales.

Un problema de valor inicial es una ecuación diferencial

$y'(t)=f(t,y(t))$ con $f\colon \Omega \subset \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$

donde $\Omega$ es un conjunto abierto $\mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{n}$ , junto con un punto en el dominio de $f$

$(t_{0},y_{0})\in \Omega$ ,

llamada la condición inicial.

Una solución a un problema de valor inicial es una función $y$ que es una solución a la ecuación diferencial y satisface

y(t_{0})=y_{0}

En muchas más dimensiones, la ecuación diferencial se reemplaza con una familia de ecuaciones $y_{i}'(t)=f_{i}(t,y_{1}(t),y_{2}(t),\dotsc )$ , y $y(t)$ se ve como el vector $(y_{1}(t),\dotsc ,y_{n}(t))$ . Más generalmente, la función desconocida $y$ puede tomar valores sobre espacios dimensionales infinitos, tal como espacios de Banach o espacios de distribuciones.

Los problemas de valor inicial pueden extenderse a mayores órdenes utilizando sus derivadas de la misma forma que se utiliza la función, es decir $y''(t)=f(t,y(t),y'(t))$ .

Ejemplos

Un ejemplo simple es resolver

\left\{{\begin{aligned}y'=0.85\,y\\y(0)=19\end{aligned}}\right.

Entonces el problema consiste en hallar la función $y(t)$ que las satisface.

Si se considera que $y'={\frac {dy}{dt}}$ , entonces

{\frac {dy}{dt}}=0.85\,y

Reagrupando la ecuación tal que $y$ está del lado izquierdo y $t$ sobre el derecho

{\frac {dy}{y}}=0.85\,dt

Si se integra en ambos lados (introduciéndose una constante desconocida $B$ ).

\ln |y|=0.85\,t+B

Eliminándose el $ln$

|y|=e^{B}e^{0.85t}

Siendo $C$ una nueva constante desconocida, $C=\pm e^{B}$ , así

y=C\,e^{0.85t}

Ahora para determinar el valor de $C$ , se utiliza la condición inicial $y(0)=19$ y sustituyendo para $t = 0$ e $y =19$ :

19=C\,e^{0.85\cdot 0}

C=19

entonces resulta que la solución final es $y(t)=19e^{0.85t}$ .

Segundo ejemplo

La solución de

\left\{{\begin{aligned}y'+3y=6t+5\\y(0)=3\end{aligned}}\right.

y(t)=2e^{-3t}+2t+1.\,

ya que,

${\begin{aligned}y'+3y&={\tfrac {d}{dt}}(2e^{-3t}+2t+1)+3(2e^{-3t}+2t+1)\\&=(-6e^{-3t}+2)+(6e^{-3t}+6t+3)\\&=6t+5.\end{aligned}}$

Definicion de Terna y de las familias isoclinas en una ecuacion diferencial.

Una terna pitagórica es un conjunto ordenado de tres números enteros positivos a, b, c, y son solución de la ecuación diofantina cuadrática

a^{2}+b^{2}=c^{2}

. La nomenclatura se liga al teorema de Pitágoras, el cual afirma que en cualquier triángulo rectángulo, se cumple que

r^{2}+s^{2}=t^{2}

(donde t es la longitud de la hipotenusa; y las otras variables, longitudes de catetos, en números enteros). En sentido recíproco también se cumple, o sea, cualquier terna pitagórica se puede asociar con las longitudes de los dos catetos y de la hipotenusa correspondiente, formando un triángulo rectángulo

Las ternas pitagóricas suelen representarse como (a, b, c). Las ternas cuyos tres números son primos relativos son denominados ternas pitagóricas primitivas o números pitagóricos. Las 16 primeras ternas pitagóricas primitivas, con c ≤ 100 son:

( 3 , 4 , 5 )	( 5, 12, 13)	( 7, 24, 25)	( 8, 15, 17)
( 9, 40, 41)	(11, 60, 61)	(12, 35, 37)	(13, 84, 85)
(16, 63, 65)	(20, 21, 29)	(28, 45, 53)	(33, 56, 65)
(36, 77, 85)	(39, 80, 89)	(48, 55, 73)	(65, 72, 97)

Las isóclinas son un método de representar una ecuación diferencial.Si es necesario trazar manualmente el campo direccional de la ecuación ݕ diferencialy'=f (x , y ), es útil observar que la pendiente y' de la solución tiene valor constante entodos los puntos de la curva f(x , y)=c. Estas curvas se denominan curvas isoclinas.Para ecuaciones relativamente simples es posible trazar el campo direccional dibujandounas cuantas isoclinas y luego insertar los segmentos rectilíneos tangentes a lasolución en varios puntos de cada una. Cuando se hace variar el parámetro c,obtenemos un conjunto de isoclinas en los elementos lineales se constituyenadecuadamente. La totalidad de esos elementos lineales se llama de diversos modos:campo de direcciones, campo direccional, campo pendiente o campo de elementos lineales de la ecuación diferencial

el campo de direcciones recuerda las“líneas de flujo” de la familia de curvas de solución de la ecuación diferencial de la cualobtenemos soluciones particulares como pueden ser los puntos (0,1), (2,3) etc.

La ecuacion diferencial

donde la funcion f(x , y) está definida dentro de unconjunto D del plano xy se determina en cada punto (x , y) de D, el valor de y ', o sea, lapendiente de la recta tangente a la curva integral en este punto. Luego, podemosinterpretar la ecuacion diferencial anterior como un conjunto de pendientes llamado Ecuaciones campo de direcciones. La terna de numeros (x , y , y') determina la direccion de unarecta que pasa por el punto (x , y ). El conjunro de los segmentos de estas rectas es larepresentacion geometrica del campo de direcciones.

Ecuaciones Diferenciales

¿Cómo Resolver una Ecuación Diferencial?